Ανάλυση Ι

1) Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων - Πραγματικοί αριθμοί
• Η έννοια του συνόλου, παράσταση συνόλων, υποσύνολο, διαγράμματα Venn, τομή συνόλων, ένωση συνόλων, διαφορά συνόλων, βασικά σύνολα αριθμών (φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, πραγματικοί αριθμοί), διαστήματα
• Πραγματικοί αριθμοί: πράξεις, διάταξη, πληρότητα
• Συνέπειες της πληρότητας: Αρχιμήδεια ιδιότητα του συνόλου των φυσικών αριθμών, ακέραιο μέρος, πυκνότητα των ρητών και των άρρητων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών
• Μαθηματική Επαγωγή

2) Συναρτήσεις
Η έννοια της συνάρτησης μεταξύ δύο συνόλων, πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών συνάρτησης, πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής, γραφική παράσταση συνάρτησης, πολυωνυμικές συναρτήσεις, ρητές συναρτήσεις, τριγωνομετρικές συναρτήσεις, εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις, υπερβολικές συναρτήσεις, συναρτήσεις πολλαπλού τύπου, αντίστροφη συνάρτηση, αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, σύνθεση συναρτήσεων, φραγμένες συναρτήσεις, άρτιες και περιττές συναρτήσεις, περιοδικές συναρτήσεις, μονοτονία συνάρτησης

3) Όρια συναρτήσεων - Συνεχείς συναρτήσεις - Ομοιόμορφα συνεχείς συναρτήσεις
• Η έννοια του σημείου συσσώρευσης ενός συνόλου, όρια συναρτήσεων σε πραγματικό αριθμό, πλευρικά όρια, όρια συναρτήσεων στο άπειρο, ιδιότητες των ορίων, όρια βασικών συναρτήσεων, απροσδιόριστες μορφές
• Συνεχείς συναρτήσεις, είδη ασυνέχειας, ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων, συνέχεια βασικών συναρτήσεων, βασικά θεωρήματα: Bolzano – ενδιάμεσων τιμών – μέγιστης και ελάχιστης τιμής, συνέχεια της αντίστροφης μιας συνεχούς συνάρτησης, συνέχεια των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων
• Ομοιόμορφα συνεχείς συναρτήσεις, η διαφορά της ομοιόμορφης συνέχειας από τη σημειακή, βασικές προτάσεις

4) Ακολουθίες και σειρές πραγματικών αριθμών
• Η έννοια της ακολουθίας, ακολουθίες που ορίζονται αναδρομικά, αριθμητική πρόοδος, γεωμετρική πρόοδος, σύγκλιση ακολουθίας, φραγμένες και μονότονες ακολουθίες, ιδιότητες ορίων ακολουθιών, ακολουθιακή συνέχεια, υπακολουθίες, θεώρημα Bolzano-Weierstrass, ακολουθίες Cauchy, βασικά όρια
• Η έννοια της σειράς, σύγκλιση σειράς, άθροισμα σειράς, ιδιότητες συγκλινουσών σειρών, αρμονική σειρά, γεωμετρικές σειρές, τηλεσκοπικές σειρές, κριτήρια σύγκλισης σειρών με μη αρνητικούς όρους: κριτήριο συγκρίσεως – κριτήριο οριακής συγκρίσεως – κριτήριο της ρίζας (Cauchy) – κριτήριο του λόγου (d'Alembert), εναλλασσόμενες (εναλλάσσουσες) σειρές, κριτήριο Leibniz, απόλυτη σύγκλιση, θεώρημα Riemann

5) Παράγωγοι συναρτήσεων
Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο, φυσική ερμηνεία παραγώγου – ρυθμός μεταβολής, παράγωγοι βασικών συναρτήσεων, κανόνες παραγώγισης, παράγωγος σύνθετης συνάρτησης (κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης), παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης, παράγωγοι των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, εφαπτομένη καμπύλης, γραμμικοποίηση και διαφορικά, παράγωγος ανώτερης τάξης, συναφείς ρυθμοί, βασικά θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού: μέσης τιμής – Rolle – Darboux – κανόνας L'Hospital

6) Μελέτη συνάρτησης - Προβλήματα βελτιστοποίησης
Ακρότατα συνάρτησης, θεώρημα Fermat, κριτήριο δεύτερης παραγώγου, κριτήριο n-οστής παραγώγου, κυρτές και κοίλες συναρτήσεις, βασικά θεωρήματα, σημεία καμπής, ασύμπτωτες γραφικής παράστασης συνάρτησης, κατακόρυφη ασύμπτωτη, οριζόντια ασύμπτωτη, πλάγια ασύμπτωτη, χάραξη γραφικής παράστασης συνάρτησης, προβλήματα βελτιστοποίησης και εφαρμογές

7) Αόριστα και ορισμένα ολοκληρώματα
• Παράγουσα ή αρχική συνάρτηση, αόριστο ολοκλήρωμα, ολοκληρώματα στοιχειωδών συναρτήσεων, γραμμική ιδιότητα του αόριστου ολοκληρώματος, μέθοδοι αόριστης ολοκλήρωσης: ολοκλήρωση με αντικατάσταση – ολοκλήρωση κατά παράγοντες, ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, ολοκληρώματα ρητών παραστάσεων του , ολοκληρώματα ρητών παραστάσεων των και , ολοκληρώματα με ριζικά, αναδρομικοί τύποι
• Διαμέριση κλειστού διαστήματος, κάτω και άνω άθροισμα (Darboux) φραγμένης συνάρτησης, κάτω και άνω ολοκλήρωμα φραγμένης συνάρτησης, ολοκλήρωμα Riemann, κριτήριο ολοκληρωσιμότητας κατά Riemann, συναρτήσεις ολοκληρώσιμες κατά Riemann, αθροίσματα Riemann, γραμμική ιδιότητα και άλλες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος, θεώρημα μέσης τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού, τα θεμελιώδη θεωρήματα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, μέθοδοι ολοκλήρωσης: ολοκλήρωση με αντικατάσταση – ολοκλήρωση κατά παράγοντες, εφαρμογές των ορισμένων ολοκληρωμάτων: υπολογισμός εμβαδού επίπεδου χωρίου, όγκος στερεού εκ περιστροφής, μήκος λείας καμπύλης, έργο μεταβλητής δύναμης κατά μήκος ευθείας, κέντρο μάζας λεπτής ράβδου

8) Γενικευμένα Ολοκληρώματα
Γενικευμένα ολοκληρώματα Α' είδους, κριτήριο του ολοκληρώματος για σειρές, γενικευμένα ολοκληρώματα Β' είδους, γενικευμένα ολοκληρώματα Γ' είδους, κριτήρια σύγκλισης, εμβαδόν μη φραγμένου επίπεδου χωρίου, συνάρτηση Γάμμα του Euler, μετασχηματισμός Laplace

9) Ακολουθίες και Σειρές συναρτήσεων - Δυναμοσειρές - Ανάπτυγμα Taylor
Ακολουθίες συναρτήσεων, σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων: κατά σημείο – ομοιόμορφη, γεωμετρική ερμηνεία της ομοιόμορφης σύγκλισης, συνέπειες της ομοιόμορφης σύγκλισης, σειρές συναρτήσεων, σύγκλιση σειράς συναρτήσεων: κατά σημείο - ομοιόμορφη, κριτήριο Weierstrass, συνέπειες της ομοιόμορφης σύγκλισης, δυναμοσειρές, ακτίνα και διάστημα σύγκλισης δυναμοσειράς, παραγώγιση και ολοκλήρωση δυναμοσειρών, σειρές Taylor και Maclaurin, θεώρημα Taylor